Le blog-notes mathématique du coyote

Comme chaque année, Theoni Pappas sort son calendrier mathématique. A chaque jour de l'année correspond un petit problème dont la réponse est la date du jour. L'année passée, le mensuel La Recherche en avait publié une version française. Je ne sais pas si c'est prévu pour 2007.

On dispose d'une grille carrée constituée de 49 cases blanches (7x7). On veut colorer certaines cases en noir de sorte que, en reliant 4 cases noires, on n'obtienne jamais un rectangle dont les côtés sont parallèles aux bords de la grille. Combien peut-on colorer de cases au maximum ?
J'ai écrit un petit programme basé sur le principe du recuit simulé qui m'a trouvé plusieurs solutions avec 21 cases noires.

Les spidrons (je ne sais pas d'où vient ce nom) sont des formes géométriques planes composées de triangles isocèles collés par les côtés. Ces spidrons ont des propriétés géométriques et esthétiques intéressantes et peuvent être assemblés pour faire des pavages ou des polyèdres.

A lire : Spidron System

Un mathématicien est une machine à transformer le café en théorèmes.

Paul Erdös

P.S. Selon Wikipédia, cette citation serait en fait d'Alfred Rényi.

Soit un polygone construit sur une grille de points équidistants tel que tous ses sommets soient des points de la grille ; le théorème de Pick fournit une formule simple pour calculer l'aire A de ce polygone en se servant du nombre de points intérieurs du polygone (i) et du nombre de points du bord du polygone (b) :

A = i + b/2 - 1
Dans l'exemple ci-contre, l'aire du polygone est : 3 + 14/2 - 1 = 9.
Notons que le théorème tel qu'énoncé ci-dessus est seulement valide pour les polygones simples, c'est-à-dire ceux constitués d'une pièce et qui ne contiennent pas de "trous". Ce résultat fut énoncé en premier par Georg Alexander Pick (1859-1942) en 1899.

A voir :

• Animath : Le théorème de Pick
• Wikipédia : Théorème de Pick
• Cut the knot : Pick's Theorem